14. Сторона EO треугольника EOC равна 8√3. Противолежащий ей угол С равен 120°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

1. Для нахождения радиуса описанной окружности (R) треугольника используем теорему синусов, которая гласит:

   \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

2. В нашем случае, сторона EOC равна 8√3, а противолежащий угол C равен 120°. Сторона 'e' соответствует углу E, 'o' - углу O, и 'c' - углу C. У нас есть сторона EO, которая соответствует углу C.
3. Подставим известные значения в формулу теоремы синусов, где сторона EO = c = 8√3, а угол C = 120°:

   \[ \frac{8\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ}} = 2R \]

4. Найдем значение синуса 120°:

   \[ \sin 120^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

5. Подставим значение синуса обратно в уравнение:

   \[ \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \]

6. Упростим выражение:

   \[ \frac{8\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2R \]

   \[ 16 = 2R \]

7. Найдем радиус R:

   \[ R = \frac{16}{2} \]

   \[ R = 8 \]

Ответ: 8