14. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 65°, ∠2 = 51°. Ответ дайте в градусах.

Задание 14. Нахождение угла

Дано:

• Прямые \( m \) и \( n \) параллельны.
• \( \angle 1 = 65^{\circ} \)
• \( \angle 2 = 51^{\circ} \)

Найти: \( \angle 3 \)

Решение:

Чтобы найти \( \angle 3 \), нам нужно провести дополнительную линию или использовать свойства углов при параллельных прямых.

Способ 1: Через секущую, пересекающую \( m \) и \( n \)

1. Проведём через вершину угла \( \angle 2 \) (точку пересечения секущих) прямую \( k \), параллельную \( m \) и \( n \).
2. Угол \( \angle 1 \) (65°) и часть угла \( \angle 2 \) (которая лежит выше прямой \( k \)) являются накрест лежащими или соответственными углами при параллельных прямых \( m \) и \( k \) и соответствующей секущей.
3. Однако, это усложнит задачу. Давайте найдем более простой путь.

Способ 2: Использование смежных и вертикальных углов, а также свойств параллельных прямых

1. Рассмотрим угол, смежный с \( \angle 1 \). Пусть это будет \( \angle 4 \). Тогда \( \angle 4 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \).
2. Теперь рассмотрим угол \( \angle 5 \), который вертикален углу \( \angle 1 \). Тогда \( \angle 5 = \angle 1 = 65^{\circ} \).
3. Угол \( \angle 2 \) (51°) дан.
4. Давайте проведём дополнительную секущую, которая образует угол \( \angle 1 \) с прямой \( m \).
5. Пусть \( \alpha \) — угол между второй секущей (которая образует \( \angle 2 \)) и прямой \( m \). Угол \( \alpha \) и \( \angle 2 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Следовательно, \( \alpha = \angle 2 = 51^{\circ} \).
6. \( \angle 3 \) состоит из двух частей:
• Вертикальный угол к \( \angle 1 \), который равен \( 65^{\circ} \).
• Угол \( \alpha \), который равен \( 51^{\circ} \) (как накрест лежащий с \( \angle 2 \)).
7. Сумма этих углов и даст \( \angle 3 \).
8. \( \angle 3 = \angle 1 + \alpha = 65^{\circ} + 51^{\circ} = 116^{\circ} \).

Ответ: 116