14. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см.

Пусть катеты равны \(a\) и \(b\). Для прямоугольного треугольника:

\[r=\frac{a+b-c}{2}.\]

Подставим данные:

\[3=\frac{a+b-17}{2},\qquad a+b=23.\]

По теореме Пифагора:

\[a^2+b^2=17^2=289.\]

Возведём сумму катетов в квадрат:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\]

\[23^2=289+2ab,\qquad 529=289+2ab,\qquad ab=120.\]

Катеты являются корнями уравнения:

\[x^2-23x+120=0.\]

\[x_1=8,\qquad x_2=15.\]

Ответ: 8 см и 15 см.