14. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Дано:

• Начальная высота первого прыжка: \( h_1 = 4 \) м
• Высота следующего прыжка в 2 раза меньше предыдущего.
• Целевая высота: 20 см = 0.2 м

Решение:

1. Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом \( h_1 = 4 \) м и знаменателем \( q = \frac{1}{2} \).
2. Формула для n-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).
3. Нам нужно найти такое \( n \), при котором \( h_n < 0.2 \) м.
4. Подставляем значения:
   \[ 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.2 \]
5. Делим обе части на 4:
   \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{0.2}{4} \]
   \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 0.05 \]
6. Представим 0.05 как дробь: \( 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20} \).
   \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{20} \]
7. Теперь подберем значение \( n \) (номер прыжка):
   
   • Если \( n=1 \), \( h_1 = 4 \) м.
   • Если \( n=2 \), \( h_2 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \) м.
   • Если \( n=3 \), \( h_3 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \) м.
   • Если \( n=4 \), \( h_4 = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5 \) м.
   • Если \( n=5 \), \( h_5 = 0.5 \cdot \frac{1}{2} = 0.25 \) м.
   • Если \( n=6 \), \( h_6 = 0.25 \cdot \frac{1}{2} = 0.125 \) м.
8. 0.125 м = 12.5 см, что меньше 20 см.

Ответ: 6