14. Группа туристов за первый день одиннадцатидневного похода прошла на лодках 5 км, а за каждый последующий — на одно и то же количество километров больше, чем за предыдущий день. Известно, что за последние 6 дней группа прошла 97,5 км. Сколько всего километров группа туристов прошла на лодках за 11 дней?

Это задача на арифметическую прогрессию. Пусть (a_1) — расстояние, пройденное в первый день (5 км), (d) — разница в пройденном расстоянии каждый день, (S_n) — сумма расстояний за (n) дней, (a_n) — расстояние, пройденное в (n)-й день. Нам дано, что сумма расстояний за последние 6 дней, (S_6) последних дней равна 97,5 км. Сумма первых n членов арифметической прогрессии: (S_n = \(\frac{n}{2}\) (2a_1 + (n-1)d)) Сумма последних 6 дней можно представить как сумму с 6-го по 11-й день. Пусть (a_6) - расстояние за 6 день. Тогда сумма за последние 6 дней (S_6 = \(\frac{6}{2}\) (a_6 + a_{11})) или (97.5 = 3(a_6+a_{11})). (a_6+a_{11} = 97.5/3 = 32.5). А также (a_6= a_1 + 5d) и (a_{11}= a_1 + 10d). Значит, (a_6+a_{11} = 2a_1+15d= 2*5 + 15d= 32.5). (10+15d = 32.5), (15d = 22.5), (d = 1.5). Теперь найдем сумму расстояний за 11 дней: (S_{11} = \(\frac{11}{2}\)(2a_1 + (11-1)d) = \(\frac{11}{2}\)(2*5+10*1.5) = \(\frac{11}{2}\)(10+15) = \(\frac{11}{2}\)*25 = 137.5). Ответ: 137,5 км