14*. Две шестерни сцеплены зубьями (рис. 2). Большая шестерня имеет 57 зубьев, а малая — 38. Сколько оборотов сделает большая шестерня, когда зубья обеих шестерен займут первоначальное положение?

Решение:

Зубья обеих шестерен займут первоначальное положение, когда обе шестерни пройдут количество зубьев, равное их наименьшему общему кратному (НОК).

1. Находим НОК для числа зубьев большой (57) и малой (38) шестерен.
- Разложим числа на простые множители:
\( 57 = 3 \cdot 19 \)
\( 38 = 2 \cdot 19 \)
- НОК(57, 38) = \( 2 \cdot 3 \cdot 19 = 114 \) зубьев.

2. Находим, сколько оборотов сделает большая шестерня.
- Большая шестерня имеет 57 зубьев. Чтобы пройти 114 зубьев, ей нужно сделать:

\[ \text{Обороты большой шестерни} = \frac{\text{НОК}}{\text{Число зубьев большой шестерни}}} = \frac{114}{57} = 2 \text{ оборота} \]

3. Находим, сколько оборотов сделает малая шестерня (для проверки).
- Малая шестерня имеет 38 зубьев. Чтобы пройти 114 зубьев, ей нужно сделать:

\[ \text{Обороты малой шестерни} = \frac{\text{НОК}}{\text{Число зубьев малой шестерни}}} = \frac{114}{38} = 3 \text{ оборота} \]

Ответ: Большая шестерня сделает 2 оборота.