13 Тип 13 № 3291 i Решите уравнение 1 (x-2)2 1 x-2 -6=0. Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге. На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Привет! Давай решим это уравнение вместе.

Дано:

• \[ \frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0 \]

Важно: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x
eq 2 \).

Решение:

1. Замена переменной:

   Чтобы упростить уравнение, введем новую переменную. Пусть \( y = \frac{1}{x-2} \). Тогда \( y^2 = \left(\frac{1}{x-2}\right)^2 = \frac{1}{(x-2)^2} \).

   Теперь наше уравнение выглядит так:

   \[ y^2 - y - 6 = 0 \]

2. Решение квадратного уравнения:

   Это обычное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

   \( D = b^2 - 4ac \) , где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -6 \).

   \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

   \( \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \).

   Найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

   \[ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

   \[ y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

3. Обратная замена:

   Теперь вернемся к нашей переменной \( x \), используя \( y = \frac{1}{x-2} \).

   Случай 1: \( y_1 = -2 \)

   \[ -2 = \frac{1}{x-2} \]

   \[ -2(x-2) = 1 \]

   \[ -2x + 4 = 1 \]

   \[ -2x = 1 - 4 \]

   \[ -2x = -3 \]

   \[ x = \frac{-3}{-2} = 1.5 \]

   Случай 2: \( y_2 = 3 \)

   \[ 3 = \frac{1}{x-2} \]

   \[ 3(x-2) = 1 \]

   \[ 3x - 6 = 1 \]

   \[ 3x = 1 + 6 \]

   \[ 3x = 7 \]

   \[ x = \frac{7}{3} \approx 2.33 \]

Оба значения \( x = 1.5 \) и \( x = \frac{7}{3} \) не равны 2, поэтому они являются решениями.

Ответ: \( x = 1.5 \), \( x = \frac{7}{3} \)