13) Решите уравнение sin 2x = -√2 sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π; −7π/2].

1. Решение уравнения:

• Используем формулу синуса двойного угла: \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \]
• Подставляем в уравнение: \[ 2\sin(x)\cos(x) = - \sqrt{2} \sin(x) \]
• Переносим все в одну сторону: \[ 2\sin(x)\cos(x) + \sqrt{2} \sin(x) = 0 \]
• Выносим old{sin(x)} за скобки: \[ \sin(x) (2\cos(x) + \sqrt{2}) = 0 \]
• Теперь решаем два отдельных уравнения:
• а) old{sin(x) = 0}
• \[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
• б) old{2cos(x) + √2 = 0}
• \[ 2\cos(x) = -\sqrt{2} \]
• \[ \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
• \[ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

2. Нахождение корней на отрезке [−5π; −7π/2]:

• Отрезок old{[−5π; −7π/2]} = old{[−5π; −3.5π]}.
• Для корней x = πk:
• \[ -5\pi \le \pi k \le -3.5\pi \]
• \[ -5 \le k \le -3.5 \]
• Целые значения k: k = -4, k = -5
• При k = -4: old{x = -4π}
• При k = -5: old{x = -5π}
• Для корней x = ±3π/4 + 2πn:
• Рассмотрим old{x = 3π/4 + 2πn}:
• \[ -5\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le -3.5\pi \]
• \[ -5 \le \frac{3}{4} + 2n \le -3.5 \]
• \[ -5 - 0.75 \le 2n \le -3.5 - 0.75 \]
• \[ -5.75 \le 2n \le -4.25 \]
• \[ -2.875 \le n \le -2.125 \]
• Целое значение n: n = -2
• При n = -2: old{x = \(\frac{3\pi}{4}\) + 2\(\pi\)(-2) = \(\frac{3\pi}{4}\) - 4\(\pi\) = \(\frac{3\pi - 16\pi}{4}\) = -\(\frac{13\pi}{4}\)}
• Рассмотрим old{x = -3π/4 + 2πn}:
• \[ -5\pi \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le -3.5\pi \]
• \[ -5 \le -0.75 + 2n \le -3.5 \]
• \[ -5 + 0.75 \le 2n \le -3.5 + 0.75 \]
• \[ -4.25 \le 2n \le -2.75 \]
• \[ -2.125 \le n \le -1.375 \]
• Целое значение n: n = -2
• При n = -2: old{x = -\(\frac{3\pi}{4}\) + 2\(\pi\)(-2) = -\(\frac{3\pi}{4}\) - 4\(\pi\) = \(\frac{-3\pi - 16\pi}{4}\) = -\(\frac{19\pi}{4}\)}

Ответ:

• Корни уравнения: old{x = πk} и old{x = ±3π/4 + 2πn, где k, n ∈ Z}.
• Корни, принадлежащие отрезку [−5π; −7π/2]: old{-5π, -4π, -13π/4, -19π/4}.