13. Решите неравенство x² - 25 < 0. В ответе укажите номер правильного варианта.

Привет! Давай решим это квадратное неравенство. Оно не такое уж и сложное, если знать, как действовать.

Неравенство:

• \[ x^2 - 25 < 0 \]

Варианты ответа:

• 1) $$ (-\infty; +\infty) $$
• 2) нет решений
• 3) $$ (-5; 5) $$
• 4) $$ (-\infty; -5) \cup (5; +\infty) $$

Решение:

Чтобы решить неравенство, представим его как уравнение и найдем корни:

1. Найдем корни уравнения:
   \[ x^2 - 25 = 0 \]
   Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
   \[ (x - 5)(x + 5) = 0 \]
2. Корни уравнения:
   
   • $$x - 5 = 0 \rightarrow x_1 = 5$$
   • $$x + 5 = 0 \rightarrow x_2 = -5$$
3. Определим знаки интервалов:
   Корни $$-5$$ и $$5$$ делят числовую прямую на три интервала: $$(-\infty; -5)$$, $$(-5; 5)$$, $$(5; +\infty)$$.
   Проверим знак выражения $$x^2 - 25$$ в каждом интервале:
   
   • Для $$(-\infty; -5)$$, возьмем $$x = -6$$: $$(-6)^2 - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$$ (плюс).
   • Для $$(-5; 5)$$, возьмем $$x = 0$$: $$0^2 - 25 = -25 < 0$$ (минус).
   • Для $$(5; +\infty)$$, возьмем $$x = 6$$: $$6^2 - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$$ (плюс).
4. Выберем нужный интервал:
   Нам нужно, чтобы $$x^2 - 25 < 0$$, то есть значение выражения было отрицательным. Это соответствует интервалу $$(-5; 5)$$.

Сравниваем полученный интервал с предложенными вариантами ответа.

Ответ: 3