13. Разложите на множители: 1) 6a – 9b; 2) 8a – 12b; 3) 5ab – 5ac; 4) 6ax + 6ay; 5) 4a² + 8ac; 6) 3m² – 6mn; 7) ab – ac + yb – yc; 8) ab + ac + xb + c; 9) x² – 25; 10) x² – 4; 11) 25 – 9a²; 12) 36 – 16y².

Задание 13. Разложение на множители

Разложение на множители — это представление выражения в виде произведения.

1) 6a – 9b

Найдем наибольший общий делитель коэффициентов 6 и 9. Это 3. Вынесем 3 за скобки:

\[ 6a - 9b = 3(2a - 3b) \]

Ответ: \( 3(2a - 3b) \)

2) 8a – 12b

Наибольший общий делитель коэффициентов 8 и 12 — это 4. Вынесем 4 за скобки:

\[ 8a - 12b = 4(2a - 3b) \]

Ответ: \( 4(2a - 3b) \)

3) 5ab – 5ac

Общий множитель здесь — 5a. Вынесем его за скобки:

\[ 5ab - 5ac = 5a(b - c) \]

Ответ: \( 5a(b - c) \)

4) 6ax + 6ay

Общий множитель — 6a. Вынесем его за скобки:

\[ 6ax + 6ay = 6a(x + y) \]

Ответ: \( 6a(x + y) \)

5) 4a² + 8ac

Общий множитель — 4a. Вынесем его за скобки:

\[ 4a^2 + 8ac = 4a(a + 2c) \]

Ответ: \( 4a(a + 2c) \)

6) 3m² – 6mn

Общий множитель — 3m. Вынесем его за скобки:

\[ 3m^2 - 6mn = 3m(m - 2n) \]

Ответ: \( 3m(m - 2n) \)

7) ab – ac + yb – yc

Здесь мы будем использовать метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

\[ (ab - ac) + (yb - yc) \]

Вынесем общие множители из каждой группы:

\[ a(b - c) + y(b - c) \]

Теперь у нас появился общий множитель \( (b - c) \). Вынесем его за скобки:

\[ (b - c)(a + y) \]

Ответ: \( (b - c)(a + y) \)

8) ab + ac + xb + c

Сгруппируем слагаемые так, чтобы появился общий множитель. Попробуем сгруппировать первые два и последние два:

\[ (ab + ac) + (xb + c) \]

Вынесем общие множители:

\[ a(b + c) + (xb + c) \]

Этот вариант не дал общего множителя. Попробуем другую группировку: первые и третьи, вторые и четвертые.

\[ (ab + xb) + (ac + c) \]

Вынесем общие множители:

\[ b(a + x) + c(a + 1) \]

Этот вариант тоже не дал общего множителя. Попробуем сгруппировать первые и четвертые, вторые и третьи.

\[ (ab + c) + (ac + xb) \]

Этот вариант также не подходит. Проверим исходное условие. Возможно, в условии ошибка. Если предположить, что последнее слагаемое 'c' должно быть 'xc', то:

\[ ab + ac + xb + xc \]

\[ (ab + ac) + (xb + xc) \]

\[ a(b + c) + x(b + c) \]

\[ (a + x)(b + c) \]

Однако, если исходить строго из условия, то такое выражение не раскладывается на простые множители методом группировки. Допустим, что в условии ab + ac + xb + c, это задача на группировку, где может потребоваться перестановка слагаемых или наличие невидимого общего множителя. В данном случае, не удается разложить без предположения об ошибке в условии. Если же предположить, что это опечатка и было ab + ac + bx + cx, то ответ будет (a+x)(b+c). Если же это ab + ax + cb + cx, то ответ будет (a+c)(b+x). Принимая условие как есть, без дополнительных пояснений, точное разложение на простые множители не представляется возможным стандартными методами.

Примечание: В задачах такого типа, если после перегруппировки не получается общий множитель, часто бывает опечатка в условии. Предполагая, что задача предполагает группировку, и ища закономерность, наиболее вероятным является вариант, где все члены имеют сходные буквы. Если бы это было ab + ac + bx + cx, то решение было бы (a+x)(b+c). Однако, по условию ab + ac + xb + c, нет очевидного общего множителя после группировки.

Предполагаемый ответ (при условии ошибки в условии, например, если было ab + bx + ac + xc):

\[ b(a+x) + c(a+x) = (b+c)(a+x) \]

Если исходить строго из условия, то разложение на множители затруднительно.

9) x² – 25

Это разность квадратов вида \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). Здесь \( a = x \) и \( b = 5 \) (так как \( 5^2 = 25 \)).

\[ x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5) \]

Ответ: \( (x - 5)(x + 5) \)

10) x² – 4

Это также разность квадратов. Здесь \( a = x \) и \( b = 2 \) (так как \( 2^2 = 4 \)).

\[ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2) \]

Ответ: \( (x - 2)(x + 2) \)

11) 25 – 9a²

Это разность квадратов. Здесь \( a = 5 \) (так как \( 5^2 = 25 \)) и \( b = 3a \) (так как \( (3a)^2 = 9a^2 \)).

\[ 25 - 9a^2 = 5^2 - (3a)^2 = (5 - 3a)(5 + 3a) \]

Ответ: \( (5 - 3a)(5 + 3a) \)

12) 36 – 16y²

Это разность квадратов. Здесь \( a = 6 \) (так как \( 6^2 = 36 \)) и \( b = 4y \) (так как \( (4y)^2 = 16y^2 \)).

\[ 36 - 16y^2 = 6^2 - (4y)^2 = (6 - 4y)(6 + 4y) \]

Можно вынести общие множители из каждой скобки:

\[ (6 - 4y) = 2(3 - 2y) \]

\[ (6 + 4y) = 2(3 + 2y) \]

Тогда:

\[ (6 - 4y)(6 + 4y) = 2(3 - 2y) · 2(3 + 2y) = 4(3 - 2y)(3 + 2y) \]

Ответ: \( (6 - 4y)(6 + 4y) \) или \( 4(3 - 2y)(3 + 2y) \)