Деепричастные обороты обособляются, если они являются обстоятельствами образа действия или времени. В предложении "Через минуту соловей пустил высокую мелкую дробь и испробовав таким образом свой голос начал петь" деепричастный оборот "испробовав таким образом свой голос" относится к сказуемому "пустил" и "начал петь", поясняя добавочное действие.
Ответ: E) Через минуту соловей пустил высокую мелкую дробь и испробовав таким образом свой голос начал петь.