13. ∠AOB = 140°, ∠BOD = 95°, ∠AOC = 75°, ∠COD — ?

Решение:

Нам дано, что ∠AOB = 140°.

Также дано, что ∠AOC = 75° и ∠BOD = 95°.

Мы можем найти ∠COD, вычитая ∠AOC из ∠AOB, а затем прибавляя ∠BOD. Или, что проще, вычесть ∠AOC из ∠AOB, чтобы найти ∠BOC, а затем вычесть ∠BOD из ∠BOC. Однако, можно также найти ∠COD как разницу между ∠AOB и суммой ∠AOC и ∠BOD, если лучи расположены определенным образом. Смотря по рисунку, ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB. Но это не так, так как ∠AOC + ∠COD + ∠DOB > ∠AOB. По рисунку, ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Из этого следует, что ∠COB = ∠AOB - ∠AOC = 140° - 75° = 65°.

Далее, ∠COB = ∠COD + ∠DOB. Следовательно, ∠COD = ∠COB - ∠DOB.

\( \angle COD = 65° - 95° = -30° \)

Это неверно, так как угол не может быть отрицательным. Значит, луч OD лежит между OA и OC. Тогда ∠AOD = ∠AOC + ∠COD. Или луч OC лежит между OA и OD. Тогда ∠AOD = ∠AOC + ∠COD. В таком случае ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB.

Исходя из рисунка, ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB неверно. Скорее всего, ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. И ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB. Но это тоже не всегда так. Правильно будет: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB, а ∠AOD = ∠AOC + ∠COD. И ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB. Разберем случай, когда луч OC находится между OA и OD. Тогда ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 75° + ∠COD. И ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB = (75° + ∠COD) + 95° = 170° + ∠COD. Но ∠AOB = 140°. Это противоречие. Рассмотрим случай, когда луч OD находится между OA и OC. Тогда ∠AOD = ∠AOC - ∠DOC = 75° - ∠COD. И ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB = (75° - ∠COD) + 95° = 170° - ∠COD. Но ∠AOB = 140°. Тогда 140° = 170° - ∠COD. ∠COD = 170° - 140° = 30°. Проверим: Если ∠COD = 30°, ∠AOC = 75°. Тогда ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 75° + 30° = 105°. А ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB = 105° + 95° = 200°. Это не 140°. Рассмотрим случай, когда луч OC находится между OA и OB, а луч OD находится между OC и OB. Тогда ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. ∠COB = ∠AOB - ∠AOC = 140° - 75° = 65°. Также, ∠COB = ∠COD + ∠DOB. Значит, ∠COD = ∠COB - ∠DOB = 65° - 95°. Это невозможно, так как угол не может быть отрицательным. Следовательно, луч OD должен лежать между OA и OC. Тогда ∠AOC = ∠AOD + ∠DOC. Отсюда ∠AOD = ∠AOC - ∠DOC = 75° - ∠COD. Также ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB. Подставим ∠AOD: ∠AOB = (75° - ∠COD) + ∠DOB. 140° = 75° - ∠COD + 95°. 140° = 170° - ∠COD. ∠COD = 170° - 140° = 30°. Проверим: ∠COD = 30°. ∠AOC = 75°. ∠DOB = 95°. Если OD между OA и OC, то ∠AOD = ∠AOC - ∠COD = 75° - 30° = 45°. Тогда ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB = 45° + 95° = 140°. Это соответствует условию. Ответ: 30°.