126. Докажите, что при любом натуральном n значении выражения: 1) (7n + 6)² - 64 делится нацело на 7; 2) (8n + 1)² - (2n - 5)² делится нацело на 6.

Решение:

1. \( (7n + 6)^2 - 64 \)
   Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
   \( (7n + 6)^2 - 8^2 = ((7n + 6) - 8)((7n + 6) + 8) \)
   \( = (7n - 2)(7n + 14) \)
   \( = (7n - 2) \cdot 7(n + 2) \)
   Полученный результат содержит множитель 7, следовательно, выражение делится нацело на 7.
2. \( (8n + 1)^2 - (2n - 5)^2 \)
   Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
   \( = ((8n + 1) - (2n - 5))((8n + 1) + (2n - 5)) \)
   \( = (8n + 1 - 2n + 5)(8n + 1 + 2n - 5) \)
   \( = (6n + 6)(10n - 4) \)
   \( = 6(n + 1) \cdot 2(5n - 2) \)
   \( = 12(n + 1)(5n - 2) \)
   Полученный результат содержит множитель 12, который делится на 6. Следовательно, всё выражение делится нацело на 6.

Доказано.