12. В прямоугольном треугольнике АВС угол C равен 90°, cos B = 12/13. Гипотенуза AB = 26. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \cos B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \).

По условию \( \cos B = \frac{12}{13} \) и \( AB = 26 \) см.

\( \frac{BC}{26} = \frac{12}{13} \)

\( BC = \frac{12}{13} \times 26 = 12 \times 2 = 24 \) см.

По теореме Пифагора \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\( 26^2 = AC^2 + 24^2 \)

\( 676 = AC^2 + 576 \)

\( AC^2 = 676 - 576 = 100 \)

\( AC = \sqrt{100} = 10 \) см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} \times 24 \text{ см} = 5 \text{ см} \times 24 \text{ см} = 120 \text{ см}^2 \).

Ответ: 120 см²