12. Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

Краткая запись:

• Основание (a): 104
• Основание (b): 56
• Боковая сторона (c): 30
• Найти: Диагональ (d) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим разницу между основаниями и делим её пополам, чтобы найти длину отрезка от вершины меньшего основания до проекции вершины большего основания на большее основание.
   \( x = rac{104 - 56}{2} = rac{48}{2} = 24 \)
2. Шаг 2: Строим высоту трапеции. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и отрезком \( x \), находим высоту \( h \) по теореме Пифагора: \( c^2 = h^2 + x^2 \).
   \( 30^2 = h^2 + 24^2 \)
   \( 900 = h^2 + 576 \)
   \( h^2 = 900 - 576 = 324 \)
   \( h = ext{sqrt}(324) = 18 \)
3. Шаг 3: Находим длину диагонали \( d \). Диагональ, боковая сторона и большее основание (часть, равная сумме \( x \) и меньшего основания) образуют прямоугольный треугольник.
   \( d^2 = (56 + 24)^2 + 18^2 \)
   \( d^2 = 80^2 + 18^2 \)
   \( d^2 = 6400 + 324 = 6724 \)
   \( d = ext{sqrt}(6724) = 82 \)

Ответ: 82