12. Найдите точку минимума функции y = (x−4)² e^(x-9)

Чтобы найти точку минимума функции, нам нужно взять её производную, приравнять к нулю и найти критические точки. Затем проверить, в какой из этих точек функция достигает минимума.

Функция у нас такая: y = (x - 4)² * e^(x - 9)

Это произведение двух функций: u(x) = (x - 4)² и v(x) = e^(x - 9).

Найдем производные этих функций:

u'(x) = 2(x - 4) * 1 = 2(x - 4) (по правилу дифференцирования сложной функции)

v'(x) = e^(x - 9) * 1 = e^(x - 9) (производная экспоненты)

Теперь используем формулу производной произведения: (uv)' = u'v + uv'

y' = [2(x - 4)] * e^(x - 9) + (x - 4)² * [e^(x - 9)]

Вынесем общий множитель e^(x - 9) и (x - 4):

y' = e^(x - 9) * (x - 4) * [2 + (x - 4)]

y' = e^(x - 9) * (x - 4) * (x - 2)

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

e^(x - 9) * (x - 4) * (x - 2) = 0

Так как e^(x - 9) всегда больше нуля, то для выполнения равенства нулю необходимо, чтобы один из множителей (x - 4) или (x - 2) был равен нулю.

1) x - 4 = 0 => x = 4

2) x - 2 = 0 => x = 2

У нас есть две критические точки: x = 2 и x = 4.

Теперь определим, в какой точке функция имеет минимум. Для этого проверим знаки производной слева и справа от этих точек.

Интервал (-∞, 2): Возьмём x = 0. y' = e^(-9) * (0 - 4) * (0 - 2) = e^(-9) * (-4) * (-2) = 8 * e^(-9) > 0. Функция возрастает.

Интервал (2, 4): Возьмём x = 3. y' = e^(3 - 9) * (3 - 4) * (3 - 2) = e^(-6) * (-1) * (1) = -e^(-6) < 0. Функция убывает.

Интервал (4, +∞): Возьмём x = 5. y' = e^(5 - 9) * (5 - 4) * (5 - 2) = e^(-4) * (1) * (3) = 3 * e^(-4) > 0. Функция возрастает.

Таким образом:

• В точке x = 2 производная меняет знак с '+' на '-', значит, это точка максимума.
• В точке x = 4 производная меняет знак с '-' на '+', значит, это точка минимума.

Нас просят найти точку минимума. Точка минимума — это значение x, при котором достигается минимум.

Ответ: x = 4