12. Найдите предел функции

Решение:

Найдём предел функции:

\[ \lim_{x \to -6} \frac{x+6}{x^2 + 3x - 18} \]

Подставим \( x = -6 \) в числитель и знаменатель. Числитель: \( -6 + 6 = 0 \). Знаменатель: \( (-6)^2 + 3(-6) - 18 = 36 - 18 - 18 = 0 \).

Так как получили неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), разложим знаменатель на множители.

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 3x - 18 = 0 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = -6 \).

Значит, \( x^2 + 3x - 18 = (x - 3)(x - (-6)) = (x-3)(x+6) \).

Подставим разложение в предел:

\[ \lim_{x \to -6} \frac{x+6}{(x-3)(x+6)} \]

Сократим \( (x+6) \) при \( x \neq -6 \):

\[ \lim_{x \to -6} \frac{1}{x-3} \]

Теперь подставим \( x = -6 \):

\[ \frac{1}{-6-3} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9} \]

Ответ: \(-\frac{1}{9}\).