12. Найдите наименьшее значение функции y=9x−9 ln(x−7)+10 на отрезке [7,5; 8,5].

Область определения: \(x>7\), поэтому весь данный отрезок допустим.

Найдём производную:

\[y'=9-\frac{9}{x-7}=\frac{9(x-8)}{x-7}.\]

На отрезке \([7.5;8)\\) производная отрицательна, а на \((8;8.5]\) положительна. Значит, функция принимает наименьшее значение при \(x=8\).

\[y(8)=9\cdot8-9\ln(8-7)+10=72-9\ln1+10=82.\]

Ответ: 82.