12. Найдите наибольшее значение функции $$y = 23x - 23 \text{tg } x - \frac{23\pi}{4} + 40$$ на отрезке $$[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$$.

Решение:

1. Найдем производную функции:
   • $$y' = (23x - 23 \text{tg } x - \frac{23\pi}{4} + 40)'$$
   • $$y' = 23 - 23 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 23(1 - \sec^2 x)$$
2. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
   • $$23(1 - \sec^2 x) = 0$$
   • $$1 - \sec^2 x = 0$$
   • $$\\(1 - \frac{1}{\cos^2 x} = 0 \\)$$
   • $$\frac{1}{\cos^2 x} = 1$$
   • $$\\(cos^2 x = 1 \\)$$
   • $$cos x = \pm 1$$
   • $$x = \pi n$$, где $$n$$ — целое число.
3. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок:
   • Заданный отрезок: $$[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$$.
   • Критические точки, полученные из $$cos x = \pm 1$$, это $$x = 0, \pm \pi, \pm 2\pi, ...$$
   • Ни одна из этих точек не попадает в отрезок $$[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$$.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка:
   • Поскольку критических точек внутри отрезка нет, наибольшее и наименьшее значения будут на концах отрезка.
   • При $$x = \frac{\pi}{4}$$:
   • $$y = 23(\frac{\pi}{4}) - 23 \text{tg } (\frac{\pi}{4}) - \frac{23\pi}{4} + 40$$
   • $$y = \frac{23\pi}{4} - 23(1) - \frac{23\pi}{4} + 40$$
   • $$y = -23 + 40 = 17$$.
   • При $$x = \frac{\pi}{3}$$:
   • $$y = 23(\frac{\pi}{3}) - 23 \text{tg } (\frac{\pi}{3}) - \frac{23\pi}{4} + 40$$
   • $$y = \frac{23\pi}{3} - 23(\sqrt{3}) - \frac{23\pi}{4} + 40$$
   • $$y = 23(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) - 23\sqrt{3} + 40$$
   • $$y = 23(\frac{4\pi - 3\pi}{12}) - 23\sqrt{3} + 40$$
   • $$y = \frac{23\pi}{12} - 23\sqrt{3} + 40$$
   • Приблизительно: $$y \approx \frac{23 × 3.14}{12} - 23 × 1.732 + 40 \approx 6.03 - 39.84 + 40 \approx 6.19$$.
5. Сравним значения:
• Значение функции при $$x = \frac{\pi}{4}$$ равно 17.
• Значение функции при $$x = \frac{\pi}{3}$$ равно приблизительно 6.19.
• Наибольшее значение равно 17.

Ответ: 17