12. На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка X. Затем на стороне AC взята точка X′, для которой AX = AX′. После этого на стороне BC взята точка X″, для которой CX′ = CX″, и так далее (см. рисунок). Докажите, что после нескольких раз мы попадём в исходную точку X.

Обозначим длины сторон треугольника так: AB = c, AC = b, BC = a. Пусть AX = x.

1. На стороне AC выбирается точка X′ так, что AX′ = x.
2. Тогда CX′ = b − x. На стороне BC выбирается X″, поэтому CX″ = b − x.
3. Следующая точка лежит на AB и удовлетворяет BX‴ = BX″. Так как BX″ = a − (b − x), то AX‴ = c − [a − (b − x)] = b + c − a − x.
4. Следующая точка на AC удовлетворяет AX⁗ = AX‴, поэтому CX⁗ = b − (b + c − a − x) = a − c + x.
5. Следующая точка на BC удовлетворяет CX⁗⁗ = a − c + x. Поэтому её расстояние от B равно c − x.
6. Следующая точка на AB удовлетворяет BX⁗⁗⁗ = c − x. Следовательно, её расстояние от A равно c − (c − x) = x.

На отрезке AB существует единственная точка, находящаяся на расстоянии x от A. Значит, последняя полученная точка совпадает с исходной точкой X.

Ответ: исходная точка X получается снова после 6 переходов.