12. Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения равна 2 км/ч.

Привет! Давай решим эту задачку про катер.

Что нам известно:

• Расстояние по течению: $$ S_1 = 40 $$ км
• Расстояние против течения: $$ S_2 = 6 $$ км
• Общее время в пути: $$ T = 3 $$ ч
• Скорость течения реки: $$ v_t = 2 $$ км/ч

Что нужно найти:

• Скорость катера в стоячей воде: $$ v_k $$

Формулы, которые нам понадобятся:

• Скорость по течению: $$ v_{по теч} = v_k + v_t $$
• Скорость против течения: $$ v_{против} = v_k - v_t $$
• Время: $$ t = \frac{S}{v} $$

Шаг 1: Выразим время в пути по течению и против течения.

Время в пути по течению: $$ t_1 = \frac{S_1}{v_k + v_t} $$

Время в пути против течения: $$ t_2 = \frac{S_2}{v_k - v_t} $$

Шаг 2: Составим уравнение, исходя из общего времени.

Общее время $$ T = t_1 + t_2 $$.

Подставим известные значения:

$$ 3 = \frac{40}{v_k + 2} + \frac{6}{v_k - 2} $$

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно $$ v_k $$.

Приведем дроби к общему знаменателю $$ (v_k + 2)(v_k - 2) = v_k^2 - 4 $$:

$$ 3 = \frac{40(v_k - 2) + 6(v_k + 2)}{(v_k + 2)(v_k - 2)} $$

$$ 3 = \frac{40v_k - 80 + 6v_k + 12}{v_k^2 - 4} $$

$$ 3 = \frac{46v_k - 68}{v_k^2 - 4} $$

Умножим обе части на $$ (v_k^2 - 4) $$:

$$ 3(v_k^2 - 4) = 46v_k - 68 $$

$$ 3v_k^2 - 12 = 46v_k - 68 $$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ 3v_k^2 - 46v_k + 56 = 0 $$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Найдем дискриминант $$ D = b^2 - 4ac $$:

$$ D = (-46)^2 - 4 \times 3 \times 56 = 2116 - 672 = 1444 $$

Найдем $$ √{D} $$:

$$ √{1444} = 38 $$

Найдем корни $$ v_k $$:

$$ v_{k1} = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{46 + 38}{2 \times 3} = \frac{84}{6} = 14 $$

$$ v_{k2} = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{46 - 38}{2 \times 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$

Шаг 5: Проверим корни.

Скорость катера в стоячей воде должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против течения. $$ v_k > v_t $$. В нашем случае $$ v_k > 2 $$ км/ч.

Оба корня, 14 км/ч и $$ \frac{4}{3} $$ км/ч ($$ \frac{4}{3} ≈ 1.33 $$ км/ч), нужно проверить.

Если $$ v_k = \frac{4}{3} $$, то скорость против течения $$ v_{против} = \frac{4}{3} - 2 = \frac{4 - 6}{3} = -\frac{2}{3} $$. Это невозможно, катер не сможет двигаться против течения с такой скоростью.

Значит, подходит только $$ v_k = 14 $$ км/ч.

Проверка:

Скорость по течению: $$ 14 + 2 = 16 $$ км/ч. Время: $$ \frac{40}{16} = 2.5 $$ ч.

Скорость против течения: $$ 14 - 2 = 12 $$ км/ч. Время: $$ \frac{6}{12} = 0.5 $$ ч.

Общее время: $$ 2.5 + 0.5 = 3 $$ ч. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 14