№12. Груз массой m = 400 г совершает колебания на пружине жесткостью k =250 Н/м. Амплитуда колебаний А = 15 см. Найдите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость. В каком положении она достигается?

Привет! Давай разберем эту задачку по физике. Тут речь идет о колебаниях груза на пружине. Нам нужно найти полную механическую энергию и максимальную скорость, а еще понять, где эта скорость достигается.

Дано:

• Масса груза: m = 400 г. Переведем в килограммы: m = 0.4 кг (делим на 1000).
• Жесткость пружины: k = 250 Н/м.
• Амплитуда колебаний: A = 15 см. Переведем в метры: A = 0.15 м (делим на 100).

Найти:

• Полную механическую энергию колебаний: E.
• Наибольшую скорость: v_max.
• Положение, в котором достигается наибольшая скорость.

Решение:

1. Полная механическая энергия (E):

   Полная механическая энергия колебаний математически равна максимальной потенциальной энергии или максимальной кинетической энергии. Формула для максимальной потенциальной энергии пружины: E = E_p_max = (k * A^2) / 2.

   Подставляем значения:

   \[ E = \frac{250 \text{ Н/м} \times (0.15 \text{ м})^2}{2} \]

   Считаем:

   \[ E = \frac{250 \times 0.0225}{2} \]

   \[ E = \frac{5.625}{2} \]

   \[ E = 2.8125 \text{ Дж} \]

   Итак, полная механическая энергия колебаний равна 2.8125 Джоуля.

2. Наибольшая скорость (v_max):

   Максимальная кинетическая энергия равна полной энергии: E = E_k_max = (m * v_max^2) / 2.

   Из этого уравнения выразим v_max:

   \[ v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} \]

   Подставляем наши значения E и m:

   \[ v_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 2.8125 \text{ Дж}}{0.4 \text{ кг}}} \]

   Считаем:

   \[ v_{max} = \sqrt{\frac{5.625}{0.4}} \]

   \[ v_{max} = \sqrt{14.0625} \]

   \[ v_{max} = 3.75 \text{ м/с} \]

   Наибольшая скорость равна 3.75 м/с.

3. Положение наибольшей скорости:

   Наибольшая скорость достигается в положении равновесия. Это точка, где пружина не растянута и не сжата, и потенциальная энергия равна нулю, а вся энергия — кинетическая.

Ответ:

• Полная механическая энергия колебаний: 2.8125 Дж.
• Наибольшая скорость: 3.75 м/с.
• Наибольшая скорость достигается в положении равновесия.