12. Анализ мочи используется для диагностики инфекций мочевыводящих путей. Если инфекция присутствует, анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,95. Если инфекции нет, анализ иногда выдаёт ложноположительный результат с вероятностью 0,02. Среди обратившихся пациентов с симптомами инфекции мочевой системы 15% действительно имеют инфекцию. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пациент получит положительный результат анализа.

Решение:

Обозначим события:

• \( I \) — пациент действительно имеет инфекцию.
• \( \neg I \) — пациент не имеет инфекции.
• \( + \) — анализ дал положительный результат.

Из условия имеем:

• \( P(I) = 0,15 \) (вероятность наличия инфекции).
• \( P(\neg I) = 1 - P(I) = 1 - 0,15 = 0,85 \) (вероятность отсутствия инфекции).
• \( P(+|I) = 0,95 \) (вероятность положительного результата при наличии инфекции).
• \( P(+|\neg I) = 0,02 \) (вероятность ложноположительного результата при отсутствии инфекции).

Нам нужно найти общую вероятность положительного результата \( P(+) \).

Используем формулу полной вероятности:

\( P(+) = P(+|I) \cdot P(I) + P(+|\neg I) \cdot P(\neg I) \)

\( P(+) = 0,95 \cdot 0,15 + 0,02 \cdot 0,85 \)

\( P(+) = 0,1425 + 0,017 \)

\( P(+) = 0,1595 \)

Ответ: 0,1595