1125. Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км. Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Задача 1125: Скорость теплохода

Привет! Давай разберём эту задачу по шагам, чтобы всё стало понятно.

Дано:

• Время в пути по течению: \( t_1 = 3 \) ч.
• Время в пути против течения: \( t_2 = 2 \) ч.
• Расстояние, пройденное за \( t_1 \) по течению и \( t_2 \) против течения: \( S_1 = 240 \) км.
• Разница в расстоянии: теплоход за \( t_2 \) против течения проходит на \( \Delta S = 35 \) км больше, чем за \( t_1 \) по течению.

Найти:

• Скорость теплохода против течения: \( v_{против} \).
• Скорость теплохода по течению: \( v_{по \; теч.} \).

Логика решения:

Пусть \( v_т \) — собственная скорость теплохода (без учёта течения), а \( v_т \) — скорость течения реки.

• Скорость теплохода по течению: \( v_{по \; теч.} = v_т + v_т \)
• Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = v_т - v_т \)

Для решения будем использовать формулу: расстояние = скорость × время, то есть \( S = v \times t \).

Шаг 1: Составляем уравнения на основе данных задачи.

Уравнение 1: Общее расстояние, пройденное за 3 часа по течению и 2 часа против течения.

• Расстояние по течению: \( S_{по \; теч.} = (v_т + v_т) \times 3 \)
• Расстояние против течения: \( S_{против} = (v_т - v_т) \times 2 \)
• Общее расстояние: \( S_{по \; теч.} + S_{против} = 240 \) км
• Таким образом: \( 3(v_т + v_т) + 2(v_т - v_т) = 240 \)

Уравнение 2: Информация о разнице в пройденном расстоянии.

• Расстояние, пройденное за 3 часа против течения: \( S'_{против} = (v_т - v_т) \times 3 \)
• Расстояние, пройденное за 2 часа по течению: \( S'_{по \; теч.} = (v_т + v_т) \times 2 \)
• По условию: \( S'_{против} = S'_{по \; теч.} + 35 \)
• Таким образом: \( 3(v_т - v_т) = 2(v_т + v_т) + 35 \)

Шаг 2: Упрощаем и решаем систему уравнений.

Уравнение 1:

• \( 3v_т + 3v_т + 2v_т - 2v_т = 240 \)
• \( 5v_т + v_т = 240 \)

Уравнение 2:

• \( 3v_т - 3v_т = 2v_т + 2v_т + 35 \)
• \( 3v_т - 2v_т = 2v_т + 35 \)
• \( v_т - 2v_т = 35 \)

Теперь у нас есть система:

• 1) \( 5v_т + v_т = 240 \)
• 2) \( v_т - 2v_т = 35 \)

Из второго уравнения выразим \( v_т \):

• \( v_т = 35 + 2v_т \)

Подставим это выражение для \( v_т \) в первое уравнение:

• \( 5v_т + (35 + 2v_т) = 240 \)
• \( 7v_т + 35 = 240 \)
• \( 7v_т = 240 - 35 \)
• \( 7v_т = 205 \)
• \( v_т = \frac{205}{7} \)

Теперь найдём \( v_т \), подставив значение \( v_т \) во второе уравнение:

• \( v_т = 35 + 2v_т \)
• \( v_т = 35 + 2 \times \frac{205}{7} \)
• \( v_т = 35 + \frac{410}{7} \)
• \( v_т = \frac{35 \times 7 + 410}{7} \)
• \( v_т = \frac{245 + 410}{7} \)
• \( v_т = \frac{655}{7} \)

Шаг 3: Вычисляем итоговые скорости.

Скорость теплохода по течению:

• \( v_{по \; теч.} = v_т + v_т \)
• \( v_{по \; теч.} = \frac{655}{7} + \frac{205}{7} = \frac{860}{7} \) км/ч

Скорость теплохода против течения:

• \( v_{против} = v_т - v_т \)
• \( v_{против} = \frac{655}{7} - \frac{205}{7} = \frac{450}{7} \) км/ч

Проверка:

Проверим первое условие: 3 часа по течению и 2 часа против течения пройдено 240 км.

• \( 3 \times \frac{860}{7} + 2 \times \frac{450}{7} = \frac{2580}{7} + \frac{900}{7} = \frac{3480}{7} \neq 240 \).

ОШИБКА В МОИХ РАСЧЕТАХ! Давай перепроверим.

Давай попробуем переформулировать второе условие:

«Этот же теплоход за 3 ч против течения проходит на 35 км больше, чем за 2 ч по течению.»

Это значит:

• Расстояние за 3 ч против течения: \( 3(v_т - v_т) \)
• Расстояние за 2 ч по течению: \( 2(v_т + v_т) \)
• Условие: \( 3(v_т - v_т) = 2(v_т + v_т) + 35 \). Это правильно.

Вернёмся к первому условию:

• «Теплоход проходит за 3 ч по течению и 2 ч против течения 240 км.»
• \( 3(v_т + v_т) + 2(v_т - v_т) = 240 \). Это тоже правильно.

Попробуем решить систему иначе.

Из первого уравнения:

• \( 3v_т + 3v_т + 2v_т - 2v_т = 240 \)
• \( 5v_т + v_т = 240 \)

Из второго уравнения:

• \( 3v_т - 3v_т = 2v_т + 2v_т + 35 \)
• \( 3v_т - 2v_т = 2v_т + 35 \)
• \( v_т - 2v_т = 35 \)

Поменяем обозначения для простоты:

Пусть \( x \) — скорость теплохода по течению, \( y \) — скорость теплохода против течения.

Тогда:

• \( x = v_т + v_т \)
• \( y = v_т - v_т \)

Первое условие:

• \( 3x + 2y = 240 \)

Второе условие:

За 3 часа против течения: \( 3y \)

За 2 часа по течению: \( 2x \)

• \( 3y = 2x + 35 \)

Теперь у нас система:

• 1) \( 3x + 2y = 240 \)
• 2) \( 3y = 2x + 35 \)

Из второго уравнения выразим \( 3y \) и подставим в первое (после умножения первого уравнения на 2):

• Умножим первое уравнение на 2: \( 6x + 4y = 480 \)

Это не поможет. Давай выразим \( 2x \) из второго уравнения:

• \( 2x = 3y - 35 \)

Теперь подставим \( 2x \) в первое уравнение (для этого надо преобразовать первое уравнение):

• \( 3x + 2y = 240 \)
• \( 1.5 \times (2x) + 2y = 240 \)
• \( 1.5 \times (3y - 35) + 2y = 240 \)
• \( 4.5y - 52.5 + 2y = 240 \)
• \( 6.5y = 240 + 52.5 \)
• \( 6.5y = 292.5 \)
• \( y = \frac{292.5}{6.5} = \frac{2925}{65} \)

Разделим 2925 на 65:

• \( 2925 / 65 = 45 \)

Значит, \( y = 45 \) км/ч (скорость против течения).

Теперь найдём \( x \) (скорость по течению), используя \( 3y = 2x + 35 \):

• \( 3 \times 45 = 2x + 35 \)
• \( 135 = 2x + 35 \)
• \( 2x = 135 - 35 \)
• \( 2x = 100 \)
• \( x = 50 \) км/ч (скорость по течению).

Проверка:

Условие 1: 3 часа по течению (50 км/ч) и 2 часа против течения (45 км/ч) = 240 км.

• \( 3 \times 50 + 2 \times 45 = 150 + 90 = 240 \) км. Верно!

Условие 2: За 3 часа против течения (45 км/ч) проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению (50 км/ч).

• Расстояние за 3 часа против течения: \( 3 \times 45 = 135 \) км.
• Расстояние за 2 часа по течению: \( 2 \times 50 = 100 \) км.
• Разница: \( 135 - 100 = 35 \) км. Верно!

Ответ:

• Скорость теплохода против течения: \( 45 \) км/ч.
• Скорость теплохода по течению: \( 50 \) км/ч.

Итоговый ответ:

Скорость теплохода против течения равна 45 км/ч, а скорость по течению — 50 км/ч.