11 Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 21. Найдите объём шара.

Решение:

Обозначим:

• Радиус основания конуса как \( r \).
• Высоту конуса как \( h \).
• Радиус шара как \( R \).
• Объём конуса как \( V_{конуса} \).
• Объём шара как \( V_{шара} \).

По условию:

1. Радиус основания конуса равен радиусу шара: \( r = R \).
2. Объём конуса равен 21: \( V_{конуса} = 21 \).

Формула объёма конуса:

\[ V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]

Формула объёма шара:

\[ V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \]

Из условия \( r = R \) и \( V_{конуса} = 21 \), подставим в формулу объёма конуса:

\[ 21 = \frac{1}{3}\pi R^2 h \]

Теперь нам нужно найти высоту \( h \) конуса. Так как конус вписан в шар, и радиус основания конуса равен радиусу шара, это означает, что вершина конуса находится на поверхности шара, а основание конуса является большим кругом шара. В этом случае высота конуса равна радиусу шара. То есть, \( h = R \).

Подставим \( h = R \) в уравнение объёма конуса:

\[ 21 = \frac{1}{3}\pi R^2 (R) \]

\[ 21 = \frac{1}{3}\pi R^3 \]

Теперь выразим \( \pi R^3 \) из этого уравнения:

\[ \pi R^3 = 21 \times 3 = 63 \]

Теперь найдём объём шара, используя формулу \( V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \). Мы знаем, что \( \pi R^3 = 63 \), поэтому:

\[ V_{шара} = \frac{4}{3} \times 63 \]

\[ V_{шара} = 4 \times \frac{63}{3} \]

\[ V_{шара} = 4 \times 21 \]

\[ V_{шара} = 84 \]

Ответ: 84