11. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите АВ, если ВС = 34.

Краткое пояснение:

Биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки. Так как биссектрисы углов A и B пересекаются на стороне BC, то точка их пересечения лежит на BC. Рассмотрим свойства биссектрис и параллельности сторон.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим точку пересечения биссектрис углов A и B как K. По условию, точка K лежит на стороне BC.
2. Шаг 2: Так как ABCD — параллелограмм, то AB || DC и AD || BC. Также, \( ext{AB} = ext{DC} \) и \( ext{AD} = ext{BC} \).
3. Шаг 3: AK — биссектриса угла A, значит \( ext{ extless ext{ BAK}} = ext{ extless ext{ KAD}} \).
4. Шаг 4: BK — биссектриса угла B, значит \( ext{ extless ext{ ABK}} = ext{ extless ext{ KBC}} \).
5. Шаг 5: Поскольку AD || BC, то \( ext{ extless ext{ KAD}} = ext{ extless ext{ AKB}} \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AK).
6. Шаг 6: Из равенств \( ext{ extless ext{ BAK}} = ext{ extless ext{ KAD}} \) и \( ext{ extless ext{ KAD}} = ext{ extless ext{ AKB}} \) следует, что \( ext{ extless ext{ BAK}} = ext{ extless ext{ AKB}} \). Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK. Значит, \( ext{AB} = ext{BK} \).
7. Шаг 7: Аналогично, так как AB || DC, то \( ext{ extless ext{ KAB}} \) и \( ext{ extless ext{ ABK}} \) - углы, прилежащие к стороне AB.
8. Шаг 8: Также, \( ext{ extless ext{ ABK}} = ext{ extless ext{ BKC}} \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BK).
9. Шаг 9: Из равенств \( ext{ extless ext{ ABK}} = ext{ extless ext{ KBC}} \) и \( ext{ extless ext{ ABK}} = ext{ extless ext{ BKC}} \) следует, что \( ext{ extless ext{ KBC}} = ext{ extless ext{ BKC}} \). Следовательно, треугольник BKC — равнобедренный с основанием KC. Значит, \( ext{BK} = ext{KC} \).
10. Шаг 10: Из равенств \( ext{AB} = ext{BK} \) и \( ext{BK} = ext{KC} \) следует, что \( ext{AB} = ext{BK} = ext{KC} \).
11. Шаг 11: Точка K лежит на стороне BC, значит \( ext{BC} = ext{BK} + ext{KC} \).
12. Шаг 12: Подставляем \( ext{BK} = ext{AB} \) и \( ext{KC} = ext{AB} \): \( ext{BC} = ext{AB} + ext{AB} = 2 ext{AB} \).
13. Шаг 13: Нам дано, что \( ext{BC} = 34 \). Следовательно, \( 34 = 2 ext{AB} \).
14. Шаг 14: \( ext{AB} = rac{34}{2} = 17 \).

Ответ: 17