108. Сумма 100 натуральных чисел равна 103. Найдите наибольшее значение произведения этих чисел.

Чтобы произведение было наибольшим, сначала представим каждое число в виде \(1+x_i\), где \(x_i\geqslant0\).

Так как сумма чисел равна 103, после того как каждому из 100 чисел дали по 1, остаётся распределить 3 единицы:

• \(3=3\): произведение увеличивается до \(4\);
• \(3=2+1\): множители \(3\) и \(2\), произведение \(6\);
• \(3=1+1+1\): три множителя \(2", произведение \(2\\cdot2\ cdot2=8\).

Следовательно, числа имеют вид: 97 единиц и 3 двойки.

Ответ: \(8\).