103 При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9. Найдите условную вероятность события: а) «в первый раз выпадет 5 очков»; б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»; в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»; г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка».

Решение:

Пусть событие A — «сумма выпавших очков равна 9». Возможные исходы: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3). Всего 4 исхода. Вероятность P(A) = \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \).

а) «в первый раз выпадет 5 очков»

Пусть событие B — «в первый раз выпадет 5 очков».

Пересечение A \( ∩ \) B — исход, где сумма равна 9 и первый бросок — 5. Это исход (5, 4).

P(A \( ∩ \) B) = \( \frac{1}{36} \).

Условная вероятность P(B|A) = \( \frac{P(A ∩ B)}{P(A)} = \frac{1/36}{4/36} = \frac{1}{4} \).

б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»

Пусть событие B — «при одном из бросков выпадет 4 очка».

Пересечение A \( ∩ \) B — исходы, где сумма равна 9 и хотя бы один бросок равен 4. Это исходы (4, 5) и (5, 4).

P(A \( ∩ \) B) = \( \frac{2}{36} \).

Условная вероятность P(B|A) = \( \frac{P(A ∩ B)}{P(A)} = \frac{2/36}{4/36} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»

Пусть событие B — «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй».

Пересечение A \( ∩ \) B — исходы, где сумма равна 9 и первый бросок меньше второго. Это исходы (3, 6) и (4, 5).

P(A \( ∩ \) B) = \( \frac{2}{36} \).

Условная вероятность P(B|A) = \( \frac{P(A ∩ B)}{P(A)} = \frac{2/36}{4/36} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка»

Пусть событие B — «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка» (то есть 1 или 2 очка).

Пересечение A \( ∩ \) B — исходы, где сумма равна 9 и второй бросок равен 1 или 2. Таких исходов нет.

P(A \( ∩ \) B) = \( \frac{0}{36} \).

Условная вероятность P(B|A) = \( \frac{0}{4/36} = 0 \).

Ответ: а) 1/4; б) 1/2; в) 1/2; г) 0.