101. Найдите углы, образованные в результате пересечения двух прямых, если: 1) сумма двух из них равна 106°; 2) сумма трёх из них равна 305°.

Решение:

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Вертикальные углы равны. Смежные углы в сумме составляют 180°.

1. Пусть пересекаются две прямые, образуя углы \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\). Вертикальные углы равны: \(\alpha = \gamma\) и \(\beta = \delta\). Сумма смежных углов равна 180°: \(\alpha + \beta = 180°\).


2. Если сумма двух из них равна 106°, возможны два случая:
   
   
   
   • Если это смежные углы, то \(\alpha + \beta = 106°\). Тогда \(\alpha = \beta = 53°\) (это невозможно, т.к. сумма смежных углов 180°).
   
   
   • Если это два вертикальных угла и один смежный с ними, например \(\alpha + \alpha + \beta = 106°\). Так как \(\alpha + \beta = 180°\), то \(\alpha + 180° = 106°\), что невозможно.
   
   
   • Если это два смежных угла, то \(\alpha + \beta = 106°\). Но сумма смежных углов равна \(180°\).
   
   
   • Если это два вертикальных угла, то \(\alpha + \gamma = 106°\). Поскольку \(\alpha = \gamma\), то \(2\alpha = 106°\), откуда \(\alpha = 53°\). Тогда смежный угол \(\beta = 180° - 53° = 127°\). Углы равны \(53°, 127°, 53°, 127°\).
   
   
   
   


3. Если сумма трёх углов равна 305°, то \(\alpha + \beta + \gamma = 305°\). Так как \(\alpha = \gamma\) (вертикальные), то \(2\alpha + \beta = 305°\). Мы знаем, что \(\alpha + \beta = 180°\), значит \(\beta = 180° - \alpha\). Подставляем: \(2\alpha + (180° - \alpha) = 305°\). Получаем \(\alpha + 180° = 305°\), откуда \(\alpha = 305° - 180° = 125°\). Тогда \(\beta = 180° - 125° = 55°\). Углы равны \(125°, 55°, 125°, 55°\).

Ответ: 1) 53°, 127°, 53°, 127°; 2) 125°, 55°, 125°, 55°.