10. В параллелограмме ABCD сторона AB равна 2√2, сторона AD равна 2√5. Точка K - середина стороны BC, отрезок DK перпендикулярен диагонали AC. Найдите диагональ BD.

Задание 10. Параллелограмм ABCD

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• AB = 2√2.
• AD = 2√5.
• K — середина BC.
• DK ⊥ AC.

Найти: диагональ BD.

Решение:

Для решения этой задачи удобно использовать координатный метод или векторный подход. Воспользуемся векторным подходом, так как он часто упрощает подобные задачи.

1. Введём векторы: Пусть \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \). Тогда \( \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{BD} = \vec{b} - \vec{a} \).

2. Связь сторон и диагоналей: В любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон:

Нам нужно найти \( BD \). Если мы найдём \( AC \), то сможем найти \( BD \).

3. Используем условие перпендикулярности: \( DK \perp AC \). Это означает, что скалярное произведение векторов \( \vec{DK} \) и \( \vec{AC} \) равно нулю:

4. Выразим вектор DK:

Так как K — середина BC, то \( \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} \). В параллелограмме \( \vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b} \). Значит, \( \vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{b} \).

Тогда \( \vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \).

Вектор \( \vec{DK} = \vec{AK} - \vec{AD} = (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) - \vec{b} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \).

5. Подставим в условие скалярного произведения:

Раскроем скобки:

Заменим \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = AB^2 \) и \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = AD^2 \). Также \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \).

6. Вычислим \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):

Подставим значения в уравнение:

7. Найдём квадрат диагонали AC:

Значит, \( AC = \sqrt{36} = 6 \).

8. Найдём квадрат диагонали BD:

Используем формулу суммы квадратов диагоналей:

9. Найдём диагональ BD:

Ответ: Диагональ BD равна 2√5.