10. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/с. На какой высоте его потенциальная энергия равна кинетической?

Это задача на закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия (E) равна сумме кинетической (E_k) и потенциальной (E_p) энергии: $$E = E_k + E_p$$.

В начальный момент, когда тело брошено вверх, его скорость $$v_0 = 15$$ м/с, а высота $$h_0 = 0$$.

На максимальной высоте (когда тело остановится перед падением), скорость $$v_{max} = 0$$, а высота $$h_{max}$$.

В любой точке траектории, если пренебречь сопротивлением воздуха, полная механическая энергия сохраняется: $$E_{начальная} = E_{конечная}$$.

Условие задачи: $$E_p = E_k$$.

Тогда полная энергия в этой точке: $$E = E_k + E_p = E_k + E_k = 2E_k$$ или $$E = E_p + E_p = 2E_p$$.

Дано:

• Начальная скорость: $$v_0 = 15$$ м/с
• Ускорение свободного падения: $$g ≈ 9.8$$ м/с²

Найти:

• Высоту (h), при которой $$E_p = E_k$$.

Решение:

1. Найдем полную начальную энергию (в момент броска):
   Начальная высота $$h_0 = 0$$, поэтому начальная потенциальная энергия $$E_{p0} = 0$$.
   Начальная кинетическая энергия $$E_{k0} = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (15 \text{ м/с})^2 = \frac{1}{2} m (225 \text{ м}²/с²)$$.
   Полная начальная энергия $$E_{полная} = E_{k0} + E_{p0} = \frac{1}{2} m (225 \text{ м}²/с²)$$.
2. В точке, где $$E_p = E_k$$:
   Потенциальная энергия $$E_p = mgh$$.
   Кинетическая энергия $$E_k = \frac{1}{2} mv^2$$.
   Условие: $$mgh = \frac{1}{2} mv^2$$. Сокращаем массу $$m$$: $$gh = \frac{1}{2} v^2$$, откуда $$v^2 = 2gh$$.
3. Используем закон сохранения энергии:
   $$E_{полная} = E_k + E_p$$
   $$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} mv^2 + mgh$$
4. Подставим $$v^2 = 2gh$$ в уравнение сохранения энергии:
   $$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (2gh) + mgh$$
   $$\frac{1}{2} m v_0^2 = mgh + mgh$$
   $$\frac{1}{2} m v_0^2 = 2mgh$$
5. Сокращаем массу $$m$$ и решаем относительно $$h$$:
   $$\frac{1}{2} v_0^2 = 2gh$$
   $$h = \frac{v_0^2}{4g}$$
6. Подставляем числовые значения:
   $$h = \frac{(15 \text{ м/с})^2}{4 × 9.8 \text{ м/с}²} = \frac{225 \text{ м}²/с²}{39.2 \text{ м/с}²} ≈ 5.74$$ м

Ответ: Потенциальная энергия равна кинетической на высоте примерно 5.74 м.