10. Сократите дробь \( \frac{5^{2n+2} \cdot 3^{n+5}}{75^{n+2}} \)

Решение:

1. Представим число 75 как произведение простых множителей: \( 75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2 \).
2. Подставим это в знаменатель: \( 75^{n+2} = (3 \cdot 5^2)^{n+2} = 3^{n+2} \cdot (5^2)^{n+2} = 3^{n+2} \cdot 5^{2(n+2)} = 3^{n+2} \cdot 5^{2n+4} \).
3. Теперь вся дробь выглядит так: \( \frac{5^{2n+2} \cdot 3^{n+5}}{3^{n+2} \cdot 5^{2n+4}} \).
4. Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели:
   • Степень с основанием 3: \( \frac{3^{n+5}}{3^{n+2}} = 3^{(n+5) - (n+2)} = 3^{n+5-n-2} = 3^3 \).
   • Степень с основанием 5: \( \frac{5^{2n+2}}{5^{2n+4}} = 5^{(2n+2) - (2n+4)} = 5^{2n+2-2n-4} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} \).
5. Перемножим полученные результаты: \( 3^3 \cdot \frac{1}{5^2} = \frac{27}{25} \).

Ответ: \( \frac{27}{25} \)