10. Решите задачу: В треугольнике ABC известен периметр, равный 48, стороны BC и AC равны, внешний угол при вершине C составляет 136°, одна из сторон треугольника равна 12. Требуется найти длины всех сторон и величины всех углов треугольника ABC.

В условии не указано, какая именно сторона равна 12, поэтому возможны два варианта.

Внешний и внутренний углы при вершине \(C\) смежные:

\(\angle C=180^\circ-136^\circ=44^\circ\).

Так как \(BC=AC\), треугольник равнобедренный, поэтому \(\angle A=\angle B\). Тогда:

\(\angle A=\angle B=\dfrac{180^\circ-44^\circ}{2}=68^\circ\).

1. Если равная сторона равна 12 см:
   \(BC=AC=12\) см;
   \(AB=48-12-12=24\) см.
2. Если сторона \(AB\) равна 12 см:
   Пусть \(BC=AC=x\). Тогда \(2x+12=48\), откуда \(x=18\) см.
   Следовательно, \(BC=AC=18\) см, \(AB=12\) см.

Ответ: углы в обоих вариантах: \(\angle A=68^\circ\), \(\angle B=68^\circ\), \(\angle C=44^\circ\). Длины: либо \(BC=AC=12\) см, \(AB=24\) см, либо \(BC=AC=18\) см, \(AB=12\) см. Если имелась в виду одна из равных сторон, первый вариант является ответом.