10. Решите неравенство -x^2 + 5x \(\ge\) 0. В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение:

Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

\[ x^2 - 5x \le 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x - 5) \le 0 \]

Найдем корни соответствующего уравнения \( x(x - 5) = 0 \):

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \]

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; 0] \), \( [0; 5] \) и \( [5; +\infty) \).

Проверим знак выражения \( x(x - 5) \) в каждом интервале:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)(-1 - 5) = (-1)(-6) = 6 > 0 \)
• При \( 0 < x < 5 \) (например, \( x = 1 \)): \( 1(1 - 5) = 1(-4) = -4 \le 0 \)
• При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( 6(6 - 5) = 6(1) = 6 > 0 \)

Нам нужно \( x(x - 5) \le 0 \), поэтому подходит интервал \( [0; 5] \).

Сравним с предложенными вариантами:

1. \( [0; 5] \) - совпадает.
2. \( (0; 0) \cup (5; +\infty) \)
3. \( (-\infty; 0] \cup [5; +\infty) \)
4. \( (0; 5) \)

Ответ: 1