10. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом \( l \) высотой 110 см (см. рис. 83). Найдите наибольшую высоту перил \( h_2 \), если наименьшая высота \( h_1 \) равна 50 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Из рисунка видно, что лестница и вертикальный столб образуют прямоугольный треугольник. Столб \( l \) высотой 110 см находится посередине, что означает, что он является медианой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Наименьшая высота \( h_1 = 50 \) см, а наибольшая высота \( h_2 \) — это катеты прямоугольного треугольника, образованного лестницей, стеной и полом. Вертикальный столб \( l \) является медианой, проведённой к гипотенузе. По теореме о медиане, проведённой из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы. Однако, здесь столбом \( l \) укреплены перила, а не треугольник. Исходя из рисунка, столбом \( l \) является высота, которая делит гипотенузу на две части. Так как столбом укреплены перила посередине, то \( l \) — это высота, проведённая к гипотенузе, которая также является медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Но столбом \( l \) укреплена вся конструкция. Если \( l \) — это высота, то \( h_1 \) и \( h_2 \) — это части гипотенузы, что не соответствует рисунку. \( h_1 \) и \( h_2 \) — это высоты ступеней. Столб \( l \) — это высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Однако, \( l \) — это высота, а не медиана. Если \( l \) — это высота, то \( h_1 \) и \( h_2 \) — это части гипотенузы. \( h_1 = 50 \) см, \( l = 110 \) см. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. \( l^2 = h_1 \cdot h_2 \). \( 110^2 = 50 \cdot h_2 \). \( 12100 = 50 h_2 \). \( h_2 = \frac{12100}{50} = \frac{1210}{5} = 242 \) см. В данном случае, \( h_1 \) и \( h_2 \) — это не отрезки гипотенузы, а наименьшая и наибольшая высота перил. Столб \( l \) является средней высотой. Если столбом \( l \) укреплена вся конструкция посередине, то \( l \) — это высота, которая находится между \( h_1 \) и \( h_2 \). Если предположить, что \( h_1 \) и \( h_2 \) — это высоты ступеней, а \( l \) — это высота столба, то \( l \) является средним арифметическим \( h_1 \) и \( h_2 \), если ступени расположены равномерно. \( \frac{h_1 + h_2}{2} = l \). \( \frac{50 + h_2}{2} = 110 \). \( 50 + h_2 = 220 \). \( h_2 = 220 - 50 = 170 \) см. \( h_1 \) — это наименьшая высота перил, \( h_2 \) — наибольшая. \( l = 110 \) см — это высота столба, который укрепляет перила посередине. Это означает, что \( l \) — это среднее арифметическое \( h_1 \) и \( h_2 \), если рост лестницы равномерный. \( l = \frac{h_1 + h_2}{2} \). \( 110 = \frac{50 + h_2}{2} \). \( 220 = 50 + h_2 \). \( h_2 = 220 - 50 \). \( h_2 = 170 \) см.

Ответ: 170 сантиметров.