10. На доске были записаны два натуральных числа, дающие в сумме 12 345. Петя дописал к одному из этих чисел справа одну цифру и снова вычислил сумму. На этот раз получилось 44 444. Найдите оба исходных числа и ту цифру, которую приписал Петя.

Решение:

Пусть исходные числа будут \( X \) и \( Y \). Известно, что \( X + Y = 12345 \).

Петя дописал к одному из чисел цифру \( Z \). Предположим, он дописал к числу \( X \). Новое число будет \( XZ \), что равно \( 10X + Z \).

Тогда новое уравнение: \( (10X + Z) + Y = 44444 \).

Мы можем переписать это уравнение как \( 10X + Y + Z = 44444 \).

Теперь вычтем из этого уравнения первое уравнение \( X + Y = 12345 \):

\( (10X + Y + Z) - (X + Y) = 44444 - 12345 \)

\( 9X + Z = 32099 \).

Так как \( X \) — натуральное число, и \( Z \) — одна цифра (от 0 до 9), мы можем найти \( X \).

\( 9X = 32099 - Z \).

Чтобы \( 32099 - Z \) делилось на 9, сумма цифр числа \( 32099 - Z \) должна делиться на 9.

Сумма цифр числа 32099 равна \( 3+2+0+9+9 = 23 \).

Если \( Z = 5 \), то \( 32099 - 5 = 32094 \). Сумма цифр \( 3+2+0+9+4 = 18 \), что делится на 9.

Найдем \( X \):

\( 9X = 32094 \)

\( X = \frac{32094}{9} = 3566 \).

Теперь найдем \( Y \):

\( Y = 12345 - X = 12345 - 3566 = 8779 \).

Проверим, если Петя дописал цифру \( Z=5 \) к числу \( X=3566 \), то получилось число \( 35665 \).

\( 35665 + 8779 = 44444 \).

Это соответствует условию.

Теперь проверим, если Петя дописал цифру \( Z \) к числу \( Y \). Тогда новое число будет \( YZ \), что равно \( 10Y + Z \).

\( X + 10Y + Z = 44444 \).

Вычтем \( X + Y = 12345 \):

\( (X + 10Y + Z) - (X + Y) = 44444 - 12345 \)

\( 9Y + Z = 32099 \).

\( 9Y = 32099 - Z \).

Если \( Z = 5 \), то \( 9Y = 32094 \), \( Y = 3566 \).

Тогда \( X = 12345 - 3566 = 8779 \).

Проверим, если Петя дописал цифру 5 к числу \( Y=3566 \), то получилось число \( 35665 \).

\( 8779 + 35665 = 44444 \).

В обоих случаях цифра, которую приписал Петя, — 5. Исходные числа — 3566 и 8779 (или наоборот).

Ответ: Исходные числа 3566 и 8779. Цифра, которую приписал Петя, — 5.