10. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ=45 см, АО=53 см.

Решение:

В этой задаче мы имеем дело с касательной и секущей, проведенными к окружности из одной точки. Важно помнить, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Это создает нам прямоугольный треугольник.

• Отрезок OB является радиусом окружности.
• Касательная AB перпендикулярна радиусу OB в точке касания B.
• Следовательно, треугольник ABO является прямоугольным с прямым углом в точке B.
• По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \( OB^2 + AB^2 = AO^2 \)
• Подставляем известные значения: \( OB^2 + 45^2 = 53^2 \)
• \( OB^2 + 2025 = 2809 \)
• \( OB^2 = 2809 - 2025 \)
• \( OB^2 = 784 \)
• \( OB = \sqrt{784} \)
• \( OB = 28 \) см.

Финальный ответ:

Ответ: 28 см