10) (2 балла) Найдите корни уравнения 8^{2x-1} - 8^{x+1} + 30 = 0.

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\[ \frac{8^{2x}}{8^1} - 8^x \cdot 8^1 + 30 = 0 \]\[ \frac{(8^x)^2}{8} - 8 \cdot 8^x + 30 = 0 \]

Пусть \( y = 8^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ \frac{y^2}{8} - 8y + 30 = 0 \]

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби:

\[ y^2 - 64y + 240 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 4096 - 960 = 3136 \]

Найдём значение \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{3136} = 56 \]

Найдём корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 56}{2} = \frac{120}{2} = 60 \]\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 56}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 8^x \):

1. \( 8^x = 60 \)

\( x = \log_{8} 60 \)

2. \( 8^x = 4 \)

\( (2^3)^x = 2^2 \)

\( 2^{3x} = 2^2 \)

\( 3x = 2 \)

\( x = \frac{2}{3} \)

Ответ: \( \log_{8} 60 \), \( \frac{2}{3} \)