10. (1 балл) В треугольнике АВС AC = BC, AB = 10, cos A = 5/13. Найдите высоту СH.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle A = \angle B \).

В равнобедренном треугольнике высота \( CH \), проведенная к основанию \( AB \), также является медианой и биссектрисой. Следовательно, \( AH = HB = \frac{AB}{2} \).

\( AH = \frac{10}{2} = 5 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AHC \). У нас есть \( AC \) (гипотенуза) и \( AH \) (катет). Мы знаем \( \cos A = \frac{AH}{AC} \).

По условию \( \cos A = \frac{5}{13} \).

\( \frac{5}{13} = \frac{5}{AC} \)

Отсюда следует, что \( AC = 13 \).

Теперь найдем высоту \( CH \) по теореме Пифагора из \( \triangle AHC \):

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

\( 13^2 = 5^2 + CH^2 \)

\( 169 = 25 + CH^2 \)

\( CH^2 = 169 - 25 \)

\( CH^2 = 144 \)

\( CH = \sqrt{144} \)

\( CH = 12 \)

Ответ: 12