1. Вычислите $$9^{\frac{2}{3}} + 27^{\frac{2}{3}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{4}}$$

Решение:

Вычислим каждый член по отдельности:

1. \( 9^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{2}{3}} = 3^{2 \cdot \frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} \)
2. \( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \)
3. \( \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4 \cdot \frac{3}{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \)

Теперь сложим и вычтем полученные значения:

\( 9^{\frac{2}{3}} + 27^{\frac{2}{3}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{4}{3}} + 9 - \frac{1}{8} \)

Если предполагалось, что \( 9^{\frac{2}{3}} \) должно быть целым числом, возможно, в задании была опечатка и имелось в виду \( 9^{\frac{3}{2}} \).

Рассмотрим случай, если было \( 9^{\frac{3}{2}} \):

\( 9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27 \)

Тогда выражение будет:

\( 27 + 9 - \frac{1}{8} = 36 - \frac{1}{8} = \frac{288 - 1}{8} = \frac{287}{8} \)

Если в первом члене \( 9^{\frac{2}{3}} \) — это \( \sqrt[3]{9^2} = \sqrt[3]{81} \), то выражение остаётся иррациональным.

Исходя из стандартных школьных задач, наиболее вероятен вариант с \( 9^{\frac{3}{2}} \).

Ответ: \( \frac{287}{8} \)