1. Сколькими способами число 21609 можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 21609 = x² − y²?

Используем формулу разности квадратов: 21609 = (x − y)(x + y).

Разложим число на множители: 21609 = 3² · 7⁴. Оба множителя в разложении нечётные, поэтому для каждой пары делителей d и 21609/d получаем натуральные x = (d + 21609/d)/2 и y = (21609/d − d)/2, если d < 21609/d.

У числа 21609 всего (2 + 1)(4 + 1) = 15 положительных делителей. Они образуют 7 пар различных делителей и одну пару равных делителей: 147 и 147. Равные делители дали бы y = 0, а это не натуральное число. Поэтому подходят 7 пар.

Ответ: 7