1. Решите уравнение: √-x²+9x+90.(2 sin²x-5sinxcosx-cos²x+2) = 0

Решение уравнения:

Уравнение имеет вид: \( \sqrt{-x^2 + 9x + 90} \cdot (2 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - \cos^2 x + 2) = 0 \)

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что выражения под корнем и в дробях (если бы они были) имеют смысл.

1. Решаем уравнение под корнем:

\[ -x^2 + 9x + 90 = 0 \]

\[ x^2 - 9x - 90 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = (-9)^2 - 4(1)(-90) = 81 + 360 = 441 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \]

Находим корни:

\[ x_1 = \frac{9 + 21}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

\[ x_2 = \frac{9 - 21}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

2. Решаем тригонометрическое уравнение:

\[ 2 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - \cos^2 x + 2 = 0 \]

Заменим \( 2 \) на \( 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \):

\[ 2 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - \cos^2 x + 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \]

\[ 2 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - \cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0 \]

Приведем подобные члены:

\[ 4 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 \]

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (предварительно убедившись, что \( \cos x
eq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), тогда \( \sin^2 x = 1 \). Подставим в исходное тригонометрическое уравнение: \( 2(1) - 5(±1)(0) - 0 + 2 = 4
eq 0 \). Значит, \( \cos x
eq 0 \).)

\[ 4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]

\[ 4\tan^2 x - 5\tan x + 1 = 0 \]

Пусть \( t = \tan x \). Тогда:

\[ 4t^2 - 5t + 1 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ D = (-5)^2 - 4(4)(1) = 25 - 16 = 9 \]

\[ \sqrt{D} = 3 \]

\[ t_1 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

Теперь вернемся к замене \( t = \tan x \):

• \( \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
• \( \tan x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \arctan\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Проверка ОДЗ (области допустимых значений) для корня:

Наши корни \( x=15 \) и \( x=-6 \) не являются тригонометрическими значениями, поэтому они не могут напрямую подходить или не подходить к тригонометрическим решениям. Мы просто объединяем все найденные корни.

Ответ: \( x = 15 \), \( x = -6 \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( x = \arctan\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).