1. Найдите корни уравнения cos (4x + π/4) = -√2/2 принадлежащие отрезку [-π; 2π].

Решение:

У нас есть уравнение: \( \cos\left(4x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Сначала найдем общие решения. Мы знаем, что \( \cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) когда \( \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \) или \( \alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) - любое целое число.

Приравняем аргумент косинуса к этим значениям:

1. \( 4x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \)

• Вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей:

\[ 4x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

\[ 4x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n \]

\[ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \]

• Разделим обе части на 4:

\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4} \]

\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \]

1. \( 4x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \)

• Вычтем \(\frac{\pi}{4}\) из обеих частей:

\[ 4x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

\[ 4x = \frac{4\pi}{4} + 2\pi n \]

\[ 4x = \pi + 2\pi n \]

• Разделим обе части на 4:

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{4} \]

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \]

Теперь нам нужно найти корни, которые принадлежат отрезку \( [-\pi, 2\pi] \). Подставим разные целые значения \( n \) (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).

Для первой серии решений \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \):

• \(n = -2\): \( x = \frac{\pi}{8} - \pi = -\frac{7\pi}{8} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = -1\): \( x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 0\): \( x = \frac{\pi}{8} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 1\): \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 4\pi}{8} = \frac{5\pi}{8} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 2\): \( x = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{\pi + 8\pi}{8} = \frac{9\pi}{8} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 3\): \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi + 12\pi}{8} = \frac{13\pi}{8} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 4\): \( x = \frac{\pi}{8} + 2\pi = \frac{\pi + 16\pi}{8} = \frac{17\pi}{8} \) (НЕ принадлежит отрезку, т.к. \(\frac{17\pi}{8} > 2\pi\))

Для второй серии решений \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \):

• \(n = -2\): \( x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = -1\): \( x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 0\): \( x = \frac{\pi}{4} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 1\): \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 2\): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 3\): \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi + 6\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \) (принадлежит отрезку)
• \(n = 4\): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \) (НЕ принадлежит отрезку, т.к. \(\frac{9\pi}{4} > 2\pi\))

Объединим все найденные корни:

\( -\frac{7\pi}{8}, -\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8} \) (из первой серии)

\( -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \) (из второй серии)

Отсортируем все корни по возрастанию:

\[ -\pi < -\frac{7\pi}{8} < -\frac{3\pi}{4} < -\frac{3\pi}{8} < -\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{5\pi}{8} < \frac{5\pi}{4} < \frac{9\pi}{8} < \frac{7\pi}{4} < \frac{13\pi}{8} < 2\pi \]

Ответ: \( -\frac{7\pi}{8}, -\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \)