1. Решите систему уравнений: x + 2y + 3z = 5; 2x - y - z = 1; x + 3y + 4z = 6.

Решение:

Решим систему методом Гаусса.

1. Запишем систему в матричном виде:
   
   

   1	2	3	|	5
   2	-1	-1	|	1
   1	3	4	|	6

2. Выполним элементарные преобразования строк:
3. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2. Вычтем из третьей строки первую:
   
   

   1	2	3	|	5
   0	-5	-7	|	-9
   0	1	1	|	1

4. Поменяем местами вторую и третью строки:
   
   

   1	2	3	|	5
   0	1	1	|	1
   0	-5	-7	|	-9

5. Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 5:
   
   

   1	2	3	|	5
   0	1	1	|	1
   0	0	-2	|	-4

6. Из последней строки получаем: \( -2z = -4 \) ⇒ \( z = 2 \).
7. Подставим \( z = 2 \) во второе уравнение: \( y + 2 = 1 \) ⇒ \( y = -1 \).
8. Подставим \( y = -1 \) и \( z = 2 \) в первое уравнение: \( x + 2(-1) + 3(2) = 5 \) ⇒ \( x - 2 + 6 = 5 \) ⇒ \( x + 4 = 5 \) ⇒ \( x = 1 \).

Ответ: x = 1, y = -1, z = 2.