1. Решить уравнения: a) sin(2x - pi/4) = sqrt(2)/2 б) 4^x = 2^(6+x-x^2) в) 6 sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0

1. Решение уравнений:

1. a) \( \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   Это частный случай уравнения \( \sin \alpha = a \).
   \( 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   Из первого уравнения: \( 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \) \( \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   Из второго уравнения: \( 2x = \pi + 2\pi n \) \( \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. б) \( 4^x = 2^{6+x-x^2} \)
   Перепишем уравнение, используя одинаковое основание степени (2):
   \( (2^2)^x = 2^{6+x-x^2} \)
   \( 2^{2x} = 2^{6+x-x^2} \)
   Приравниваем показатели степеней:
   \( 2x = 6 + x - x^2 \)
   \( x^2 + x - 6 = 0 \)
   Найдём корни квадратного уравнения: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \).
   \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)
   \( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \)
3. в) \( 6 \sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \)
   Сделаем замену переменной: пусть \( y = \sin(x) \). Тогда уравнение примет вид:
   \( 6y^2 - y - 1 = 0 \)
   Найдём корни квадратного уравнения:
   \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{1 \pm 5}{12} \]
   \( y_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
   \( y_2 = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \>
   Теперь вернёмся к замене:\( \sin(x) = \frac{1}{2} \) или \( \sin(x) = -\frac{1}{3} \>.
   Из \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) следует \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \>.
   Из \( \sin(x) = -\frac{1}{3} \) следует \( x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n \) или \( x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \>.
   \( x = -\arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n \) или \( x = \pi + \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n \>, где \( n \in \mathbb{Z} \>.

Ответ: 1. а) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \\(n \in \mathbb{Z} \>; б\) \( x = 2, x = -3 \>; в) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, x = -\arcsin\left\(\frac{1}{3}\right\) + 2\(\pi\) n, x = \(\pi\) + \(\arcsin\)\(\left\)\(\frac{1}{3}\right\) + 2\(\pi\) n, n \(\in\) \(\mathbb{Z}\) \>.