1. Решить неравенство \(\frac{4x-x^2}{3+2x} \le 0\)

Решение:

Чтобы решить неравенство \(\frac{4x-x^2}{3+2x} \le 0\), найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \(4x - x^2 = 0 \implies x(4-x) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 4\).
2. Корень знаменателя: \(3+2x = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5\).
3. Метод интервалов: Разместим корни на числовой оси: -1.5, 0, 4. Эти точки разбивают ось на интервалы: \((-\infty, -1.5)\), \((-1.5, 0]\), \([0, 4]\), \((4, \infty)\).
4. Определим знаки на интервалах:
• На \((-\infty, -1.5)\): Возьмём \(x = -2\). \(\frac{4(-2)-(-2)^2}{3+2(-2)} = \frac{-8-4}{3-4} = \frac{-12}{-1} = 12 > 0\).
• На \((-1.5, 0]\): Возьмём \(x = -1\). \(\frac{4(-1)-(-1)^2}{3+2(-1)} = \frac{-4-1}{3-2} = \frac{-5}{1} = -5 \le 0\).
• На \([0, 4]\): Возьмём \(x = 1\). \(\frac{4(1)-1^2}{3+2(1)} = \frac{3}{5} > 0\).
• На \((4, \infty)\): Возьмём \(x = 5\). \(\frac{4(5)-5^2}{3+2(5)} = \frac{20-25}{3+10} = \frac{-5}{13} \le 0\).
5. Учитываем условие \(\le 0\) и знаменатель не равен нулю: Неравенство выполняется на интервалах \((-1.5, 0]\) и \((4, \infty)\).

Ответ: \( x \in (-1.5; 0] \cup (4; +\infty) \).