1. Расстояние между предметом и экраном равно 80 см. На каком расстоянии от предмета нужно расположить линзу с фокусным расстоянием 20 см, чтобы получить чёткое изображение на экране?

Краткая запись:

• Расстояние между предметом и экраном (d+f): 80 см
• Фокусное расстояние линзы (F): 20 см
• Найти: Расстояние от предмета до линзы (d) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем формулу тонкой линзы: \( \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \).
2. Шаг 2: Из условия задачи известно, что \( d + f = 80 \) см, откуда \( f = 80 - d \).
3. Шаг 3: Подставим \( f \) в формулу тонкой линзы: \( \frac{1}{d} + \frac{1}{80 - d} = \frac{1}{20} \).
4. Шаг 4: Приведем левую часть к общему знаменателю: \( \frac{(80 - d) + d}{d(80 - d)} = \frac{1}{20} \).
5. Шаг 5: Упростим: \( \frac{80}{80d - d^2} = \frac{1}{20} \).
6. Шаг 6: Перекрестное умножение: \( 80 · 20 = 80d - d^2 \).
7. Шаг 7: Получаем квадратное уравнение: \( 1600 = 80d - d^2 \) или \( d^2 - 80d + 1600 = 0 \).
8. Шаг 8: Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 · 1 · 1600 = 6400 - 6400 = 0 \).
9. Шаг 9: Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень: \( d = \frac{-b}{2a} = \frac{80}{2 · 1} = 40 \) см.

Ответ: 40 см