1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Доказать, что диагонали прямоугольника равны. 2. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Чему равны значения тангенса для углов 30°, 45°, 60°? 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника. 4. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне, угол А равен 60°, АД = 24см., ВС = 12см. Найти периметр трапеции.

Билет №3.

1. Свойства прямоугольника:
   • Все углы прямые (90°).
   • Противоположные стороны параллельны и равны.
   • Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
   Доказательство: Рассмотрим прямоугольник ABCD. Проведем диагонали AC и BD. Рассмотрим треугольники ABC и DCB. Они равны по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними): AB = DC (противоположные стороны прямоугольника), BC — общая сторона, ∠ABC = ∠DCB = 90° (углы прямоугольника). Следовательно, AC = DB.
2. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
   • \[ \tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
   • \[ \tan(45°) = 1 \]
   • \[ \tan(60°) = \sqrt{3} \]
3. Решение: По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 8^2 + 15^2 \] \[ c^2 = 64 + 225 \] \[ c^2 = 289 \] \[ c = \sqrt{289} = 17 \]
4. Решение: ABCD — равнобедренная трапеция, AD = 24 см (большее основание), BC = 12 см (меньшее основание). Угол A = 60°. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH: \[ \angle BAH = 60° \] \[ \cos(60°) = \frac{AH}{AB} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{AH}{AB} \] Из трапеции опустим высоту CK на AD. Тогда BCHK — прямоугольник, HK = BC = 12 см. Так как трапеция равнобедренная, то AH = KD. \[ AD = AH + HK + KD \] \[ 24 = AH + 12 + AH \] \[ 24 = 2AH + 12 \] \[ 2AH = 12 \] \[ AH = 6 \] Теперь найдем длину боковой стороны AB. В прямоугольном треугольнике ABH: \[ AB = \frac{AH}{\cos(60°)} = \frac{6}{1/2} = 12 \] Боковая сторона трапеции равна 12 см. Так как трапеция равнобедренная, CD = AB = 12 см. Периметр трапеции ABCD: \[ P = AD + BC + AB + CD \] \[ P = 24 + 12 + 12 + 12 = 60 \] Проверка условия: диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB (или CD). Пусть BD ⊥ AB. В прямоугольном треугольнике ABD: AB² + BD² = AD². Не подходит. Перечитаем: "диагональ BD перпендикулярна боковой стороне". Это означает, что ∠ABD = 90° или ∠BDC = 90° (если BD перпендикулярна CD, которая равна AB). Пусть ∠ABD = 90°. В трапеции ABCD, AD || BC. Угол A = 60°. AH = 6, AB = 12. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол A = 60°. \[ \tan(60°) = \frac{BD}{AD} \] - это неверно, угол A не прилежащий к катету BD. В прямоугольном треугольнике ABD, ∠BAD = 60°. \[ \tan(60°) = \frac{BD}{AB} \] - неверно, ABD - прямоугольный. Если ∠ABD = 90°, то BD ⊥ AB. В прямоугольном треугольнике ABD, ∠BAD = 60°. \[ BD = AD \tan(60°) = 24 \sqrt{3} \] - это неверно, 60° - не угол при катете BD. В прямоугольном треугольнике ABD: \[ \cos(60°) = \frac{AB}{AD} \] - неверно. Вернемся к первоначальному расчету боковой стороны: AH = 6, AB = 12. Это верно, если высота BH, а ∠A = 60°. Теперь используем условие: диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB (т.е. ∠ABD = 90°). Рассмотрим треугольник ABD. Угол A = 60°, AB = 12, AD = 24. По теореме косинусов для треугольника ABD: \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * \cos(60°) \] \[ BD^2 = 12^2 + 24^2 - 2 * 12 * 24 * \frac{1}{2} \] \[ BD^2 = 144 + 576 - 288 \] \[ BD^2 = 432 \] \[ BD = \sqrt{432} = \sqrt{144 * 3} = 12\sqrt{3} \] Теперь проверим, перпендикулярна ли BD к AB. В треугольнике ABD, по теореме, обратной теореме Пифагора: \[ AB^2 + BD^2 = 12^2 + (12\sqrt{3})^2 = 144 + 432 = 576 \] А AD² = 24² = 576. Так как AB² + BD² = AD², то треугольник ABD прямоугольный, и ∠ABD = 90°. Значит, первоначальные расчеты боковых сторон верны. AH = 6, AB = 12. CD = 12. Периметр = AD + BC + AB + CD = 24 + 12 + 12 + 12 = 60 см.

Ответ: 1. См. выше. 2. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), 1, \(\sqrt{3}\). 3. 17. 4. 60 см.