1. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника. 2. Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство). 3. Найдите площадь трапеции с основаниями AD и BC, если AD=12см, ВС=6см, CD=5см, АС=13см.

Решение:

1. Описанная окружность: Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины треугольника. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
2. Свойства параллелограмма:
   • Противоположные стороны параллелограмма равны.
   • Противоположные углы параллелограмма равны.
   • Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
   • Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма, равна 180°.
3. Вычисление площади трапеции:
   • Сначала найдём высоту трапеции. Проведём из вершины C перпендикуляр CE к основанию AD. Тогда BCDE — прямоугольник, и ED = BC = 6 см.
   • AE = AD - ED = 12 см - 6 см = 6 см.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник AEC. По теореме Пифагора: \( AC^2 = AE^2 + CE^2 \).
   • \( 13^2 = 6^2 + CE^2 \)
   • \( 169 = 36 + CE^2 \)
   • \( CE^2 = 169 - 36 = 133 \)
   • \( CE = \sqrt{133} \text{ см} \) (высота трапеции).
   • Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{AD + BC}{2} \times CE \)
   • \( S = \frac{12 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} \times \sqrt{133} \text{ см} = \frac{18}{2} \times \sqrt{133} \text{ см}^2 = 9\sqrt{133} \text{ см}^2 \)

Ответ: Площадь трапеции равна 9√133 см².