1. Найти производные функции: f(x) =sin⁴x - √{1/x⁴} + 2x A) f(x) = e^√{2x+2x} - 4/(2x+1) B)

Решение:

A) Найдем производную функции \( f(x) = \sin^4 x - \sqrt{\frac{1}{x^4}} + 2x \)

1. Упростим выражение под корнем: \( \sqrt{\frac{1}{x^4}} = \sqrt{(x^{-2})^2} = |x^{-2}| = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \).
2. Производная \( \sin^4 x \): \( 4\sin^3 x \cdot \cos x \).
3. Производная \( x^{-2} \): \( -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \).
4. Производная \( 2x \): \( 2 \).
5. Объединим: \( f'(x) = 4\sin^3 x \cos x - (-\frac{2}{x^3}) + 2 = 4\sin^3 x \cos x + \frac{2}{x^3} + 2 \).

Ответ: \( f'(x) = 4\sin^3 x \cos x + \frac{2}{x^3} + 2 \).

B) Найдем производную функции \( f(x) = e^\sqrt{2x+2x} - \frac{4}{2x+1} \)

1. Упростим показатель степени: \( \sqrt{2x+2x} = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x} \).
2. Функция: \( f(x) = e^{2\sqrt{x}} - \frac{4}{2x+1} \).
3. Производная \( e^{2\sqrt{x}} \): \( e^{2\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = e^{2\sqrt{x}} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \).
4. Производная \( \frac{4}{2x+1} \): \( 4 \cdot \frac{d}{dx}((2x+1)^{-1}) = 4 \cdot (-1)(2x+1)^{-2} \cdot 2 = -\frac{8}{(2x+1)^2} \).
5. Объединим: \( f'(x) = \frac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - (-\frac{8}{(2x+1)^2}) = \frac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} + \frac{8}{(2x+1)^2} \).

Ответ: \( f'(x) = \frac{e^{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} + \frac{8}{(2x+1)^2} \).